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Wickeln wir die reelle Achse um einen Kreis

Vorgeplänkel

Die reellen Zahlen, $\mathbb{R}$, sind schon ein wenig komisch, im Vergleich zu den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$. Zur Erinnerung, $\mathbb{Q}$ sind die Zahlen die sich als Brüche von ganze Zahlen ergeben, sowas wie $7/9$, $1/3$ oder $31415926/10000000$. Man kann sie auch dadurch beschreiben, dass ihre Darstellung als Dezimalzahl hinter dem Komma nach hinten raus periodisch wird, das heißt dieselbe Ziffernfolge wiederholt sich unendlich oft. Die Zahl $1,3$ is formal gleich $\mathrm{1,300}00....$ und hier ist es nur die $0$ die sich dann unendlich oft wiederholt. Bei $10/7=\mathrm{1,428}5714285714286...$ ist es die Folge $428571$.

Aber zwischen den rationalen Zahlen liegen jeweils nochmal unendlich viele Zahlen die man nicht so darstellen kann, die irrationalen Zahlen, formal $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$. Die haben eine Dezimaldarstellung bei der sich eben nicht eine kurze oder auch lange Folge von Ziffern immer wiederholt. Es kommen immer wieder andere Kombinationen. Beispiele sind $\pi$ und $\sqrt{2}$.

Typischerweise stellt man die reellen Zahlen, $\mathbb{R}$ als Achse (gerade Linie) dar, man markiert einen Punkt als $0$, einen als $1$ und andere Stellen jeweils mit Zahlen die dem Abstand zur $0$ entsprechen, normiert auf den Abstand der $1$ zur $0$.

Wickeln wir

Jetzt kommen wir zum Kreis mit Radius $r=1/2$. Der hat den Umfang $u=2\pi r=\pi$. Wir markieren einen beliebigen Punkt auf dem Kreis, sagen wir den bei 6:00 Uhr. Dort heften wir von der reellen Achse die $0$ an und wickeln dann die positive Seite der reellen Achse um den Kreis herum und herum und herum und so weiter. Das können wir unendlich oft tun, da die reelle Achse ja unendlich lang ist.

Welche Zahlen landen auf diese Weise bei 6:00 Uhr? Die $0$, denn das haben wir ja so festgelegt. Der Kreis hat den Umfang $\pi$, nach der ersten Umwickelung landet also die Zahl $\pi$ bei 6:00 Uhr. Nach der zweiten Umwickelung landet $2\pi$ bei 6:00 Uhr usw.

Jetzt die Frage

Wenn wir uns eine beliebige rationale Zahl wählen, z.B. $1/3$, $67/13$ oder allgemein $q\in \mathbb{Q}$ dann landet die an einer bestimmten Stelle auf dem Kreis. Wenn wir dann weiter wickeln, wie viele andere rationale Zahlen landen an derselben Stelle auf dem Kreis?

Die Antwort

Tatsächlich landet keine einzige andere rationale Zahl an derselben Stelle.

Denn, nehmen wir an, eine andere Zahl $123.../734...$ oder einfach $a\in \mathbb{Q}$ landet auf der gewählten Zahl $q$. Das bedeutet ja, dass wir von dem Punkt auf dem $q$ liegt soundso oft einmal ganz rumwickeln müssen um dann zu sehen wie die Zahl $a$ an derselben Stelle landet. Wie weit ist die umwickelte Strecke? Ein ganzzahliges Vielfaches vom Kreisumfang, also von $\pi$. Sagen wir $k\pi$ für eine ganze Zahl $k$. Dann gilt aber $q+k\pi =a$. Stellt man das um, dann gilt

$$\pi =\frac{a-q}{k}.$$

Auf der rechten Seite stehen nur rationale Zahlen und es werden nur die Grundrechenarten verwendet. Dann muss die rechte Seite eine rationale Zahl sein. Aber wir wissen, dass $\pi$ irrational ist, was bedeutet, dass die Annahme falsch war: es gibt keine Zahl $a$ die an derselben Stelle wie $q$ landet.

Kann man das irgendwie intuitiv einordnen. Jeder versteht was anderes unter Intuition, aber ich biete folgendes an:

• Der einer Zahl, aus $\mathbb{Q}$ oder nicht, zugeordnete Punkt hat keine Ausdehnung, also "Breite" $0$. Kein Wunder das beliebig viele von denen auf einen Kreis passen.
• Die rationalen Zahlen sind in den reellen Zahlen sehr dünn gesäht, deshalb passen die ohne Kollision auf den Kreis.

Zum zweiten Punkt kann man sich als Vergleich heranziehen, dass die irrationalen Zahlen dauernd kollidieren. Starte ich bei einer irrationalen Zahl, sagen wir $\sqrt{2}$, dann kollidiert die mit lauter anderen irrationalen Zahlen, nämlich mit allen $b=k\pi +\sqrt{2}$ für beliebige ganze Zahlen $k$. Wie wir gerade gesehen haben, kann darunter ja maximal eine rationale Zahl sein.